Barisan Bilangan dan Deret

A. Pola Bilangan

 

Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan dengan suatu aturan yang telah diurutkan. Macam-macam pola bilangan dengan pola-pola
tertentu sbb:

 1. Bilangan asli

Barisan bilangan : 1,2,3,4,5,...
pola bilangan: n, n bilangan asli

 2. Bilangan Genap

Barisan bilangan: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Pola bilangan: 2n, n bilangan asli

 3. Bilangan ganjil

Barisan bilangan : 1,3,5,7,9,...

pola bilangan: 2n - 1, n bilangan asli

 4. Bilangan persegi

Barisan bilangan: 1, 4, 9, 16, ...
Pola bilangan: n², n bilangan asli
Pola gambar:

 

 

 5. Bilangan segitiga

Barisan bilangan : 1,3,6,10,...

pola bilangan:  n (n + 1), n bilangan asli Pola gambar:   

6. Bilangan persegipanjang

Barisan bilangan: 2, 6, 12, 20, ...

Pola bilangan: n (n+1), n bilangan asli
Pola gambar:

 

 

 

7. Bilangan Segitiga Pascal

Barisan bilangan : 1,2,,4,8,16, ...

pola bilangan: 2 ^{n - 1} , n bilangan asli
Pola gambar:

 

1                                    à1

1         1                              à2

1         2          1                        à4

1            3          3             1                à8

1            4           6           4              1        à 16

 

 

B. Barisan dan Deret

Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu.

 

1. Barisan dan Deret Aritmetika

 

a. Barisan Aritmetika

 Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap.

 Suku-sukunya dinyatakan dengan:

 

U_1, U₂, U₃, ....Un

a, a+ b, a+2b, a + 3b, ...., a + (n-1) b

Selisih(beda) dinyatakan dengan b: 

b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = U_n - U_{n - 1}

Suku ke n barisan aritmetika (U_n) dinyatakan dengan rumus: Un ^{= a + (n-1) b} 

^Keterangan: 

^Un  ^{= suku ke n dengan n = 1,2,3, ...}

^{a      = suku pertama} à U₁ = a

b     = selisih/beda 

Contoh soal:

Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,...
Jawab: 

Un ^{= a + (n-1) b
n = 15}

^{b = 6-2 = 10 - 6 = 4
U}₁ = a = 2

U₁₅ = 2 + (15-1)4
       = 2 + 14.4

= 2 + 56 = 58

 

b. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika merupakan jumlah suku-suku pada barisan aritmetika. Bentuk umum deret aritmetika:

 

a +  (a + b) +  (a+2b) + (a+3b) + ...+ (a+(n-1)b ) 

Jumlah suku sampai suku ke n  pada barisan aritmetika  dirumuskan dengan:

 

S_n =  (2a + (n-1) b )    atau S_n =    ( a + U_n )

contoh soal:

 

Suatu deret aritmetika  5, 15, 25, 35, ...

Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

 

Jawab:

 

S_n =    (2a + (n-1) b ) 

n = 10

U₁ = a = 5

b = 15 - 5 = 25 - 15 = 10

 

S₁₀ =     ( 2. 5 + (10 -1) 10) 

= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

 

2. Barisan dan Deret Geometri

a. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap.

 

Suku-sukunya dinyatakan dengan:

 

U_1, U₂, U₃, ....Un

a, ar, ar², ar³, ... ., ar^{n - 1}

Rasio dinyatakan dengan r : 

r =      =      =      =

Suku ke n barisan Geometri (U_n) dinyatakan dengan rumus: 

Un ^{= a . r n - 1}

Keterangan:

 Un  ^{= suku ke n dengan n = 1,2,3, ...}

^{a    = suku pertama} à U₁ = a

r    = rasio

 

Contoh soal:

Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, ...  adalah...
Jawab: 

Un ^{= a . r n - 1}
n = 10

a = 2

r =      =      =    =    = 2

U₁₀ = 2 . 2^{10 - 1}
         = 2 . 2⁹

= 2¹⁰ = 1.024